Last update 09.02.2000
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GeoCAD-R
D.8
 Grundlagen der Berechnung
Stichworte Zweck, Hinweis, Berechnung von Neupunkten, Flächenreduktion, Höhenreduktion, Streckenreduktion,
Zweck Diese Beschreibung soll die Zusammenhänge der verschiedenen Einstellungen auf die Berechnungsergebnisse darstellen.
Hinweis Die Berechnungen erfolgen zum größten Teil in Anlehnung an die Formelsammlung der Niedersächsischen Vermessungs- und Katasterverwaltung, herausgegeben von Niedersächsischen Minister des Innern, Ausgabe 11/88.
Berechnung von
Neupunkten		 Die Berechnung von Neupunkten bei einem Ansatz Orthogonalpunkt (siehe Kap. E.2.2.1).

Mit 

    Ra, Ha = Rechts- und Hochwert des Anfangspunktes

    Re, He = Rechts- und Hochwert des Endpunktes

    Xa, Ya = Abszisse und Ordinate des Anfangspunktes

    Xe, Ye = Abszisse und Ordinate des Endpunktes

    Sh = die gemessene Strecke in der rechenfläche, falls gemessen, sonst die gerechnete Strecke.

ergibt sich

o = (( Xe-Xa)*(Re-Ra)-(Ye-Ya)*(He-Ha))/Sh^2

a = ((Ye-Ya)*(Re-Ra)+(Xe-Xa)*(He-Ha))/Sh^2

Die Koordinaten der Neupunkte ergeben sich zu: 

Ri = Ra + a*(Yi-Ya) +o*(Xi-Xa)

Hi = Ha + a*(Xi-Xa) +o*(Yi-Ya)
Flächenreduktion Die Flächenreduktion in UTM-Koordinatensystemen, zu denen auch die Gauß-Krüger-Reduktion gehört, ist grundsätzlich abhängig von: 
  1. Dem Abstand A zum Mittelmeridian
  2. Dem Radius der Schmiegekugel (mittlerer Erdradius für das Gebiet)
  3. Der Höhe, auf die sich die Koordinaten beziehen (Bezugshöhe)
  4. Der Höhe, auf die sich die Fläche bezieht. (Ellipsoid oder Gelände)
  5. Dem Maßstab des Koordinatensystems gegenüber dem internationalen Meter
Die Flächenreduktion wird nur aufgrund von Abstand, Radius und Höhe durchgeführt, wenn in der Tabelle der Lagestaten für den aktuellen Lagestatus "Streckenreduktion" aktiviert ist. Die Aktivierung geschieht durch das Eintragen eines "S" in der Spalte Streckenreduktion.

Einstellung Streckenreduktion (4 KB)
Die Reduktion aufgrund des Maßstabes wird immer durchgeführt.
Abstand zum
Mittelmeridian		 Der Abstand A zum Mittelmeridian wird in zwei Stufen ermittelt: 
  1. Eintrag im Auftrag. Wenn in der Tabelle der Aufträge ein mittlerer Rechtswert MR (in Metern) eingetragen ist, wird immer dieser genommen. Achtung: Eingetragen ist der Rechtswert, nicht der Abstand zum Mittelmeridian. Gerechnet wird A := ABS( MR - 500000 ). ABS(x) ist die Funktion zur Ermittlung des Absolutwertes einer Zahl.
  2. Ist kein Eintrag im Auftrag vorhanden, wird der aktuelle Rechtswert genommen (die Ermittlung ist im Programm Flächenberechnung (Kap. E.2.2.B) beschrieben). Ist dieser Rechtswert 7-stellig, wird die erste Stelle, die sogenannte Meridiankennziffer, abgezogen. Anschließend wird die absolute Differenz zu 500000 gebildet.
Ist weder eine Angabe im Auftrag vorhanden, noch der Rechtswert 7-stellig, wird der Abstand zum Mittelmeridian zu 0 (Null) angenommen.
Erdradius Der Radius der Schmiegekugel ergibt sich aus der mittleren Breite und den Parametern des Bezugsellipsoides. 

Die mittlere Breite wird der Tabelle der Bezirke (Kap. E.1.2.1.2) entnommen. Wurde dort kein Eintrag vorgenommen, wird der 51.0° angenommen.

Die Parameter des Ellipsoides werden entsprechend dem aktuellen Lagestatus der Tabelle der Lagestaten (Kap. E.1.2.2.6) entnommen.

Mit

     
    a große Halbachse
    b kleine Halbachse
    qe Exzentrizität
    ER Erdradius
    MB  mittl. Breite
ergibt sich
    qe := 1.0 - b / ( a²/b )

    ER := a + SQRT( 1 - qe ) / ( 1 - qe * SIN²( MB/57.29577 ) )
Maßstab des
Koordinatensystems		 Dem Maßstab des Koordinatensystems wird entsprechend dem aktuellen Lagestatus der Tabelle der Lagestaten (Kap. E.1.2.2.6) entnommen. Ein UTM-System unterscheidet sich von einem Gauß-Krüger-System lediglich durch den Eintrag von 0.9996 als Maßstab.
Bezugshöhe Die Bezugshöhe ist die Höhe bezogen auf das Ellipsoid, die die Rechenfläche definiert. In den allermeisten Fällen, insbesondere in der Landesvermessung, ist diese Höhe 0,00 m. Beim UTM-System ETRS-89 ist diese Bezugshöhe nach meinen Informationen -40,00 m. 

Lediglich bei ganz speziellen Ingenieurvermessungen, z.B. an einer Staumauer, legt man als Bezugshöhe eine Höhe fest, die in etwa durch das zu vermessende Objekt verläuft, um die Korrektionen gering zu halten.

Die Bezugshöhe wird entsprechend dem aktuellen Lagestatus der Tabelle der Lagestaten (Kap. E.1.2.2.6) entnommen.

Die Höhe, auf die sich die Fläche bezieht (Ellipsoid oder Gelände). Im Programm Flächenberechnung werden grundsätzlich 3 Flächen gerechnet:

  • die nach Elling aus Koordinaten,
  • eine Fläche, korrigiert auf die Bezugshöhe
  • und die Fläche, bezogen auf die Geländehöhe. Diese wiederum kann sich aus dem Mittel der Umringshöhen oder der sogenannten Numerierungsbezirkshöhen errechnen. 
Die Fläche rein aus Koordinaten wird zu Kontrollzwecken immer mit ausgegeben.

Welche der beiden anderen Flächen ausgegeben wird, wird in der Tabelle der Länder (Kap. E.1.2.1.1) definiert.

Ob Numerierungsbezirkshöhen verwendet werden, muß ebenfalls in der Tabelle der Länder (Kap. E.1.2.1.1) definiert.


Der Korrekturfaktor ergibt sich zu:
    Kf1 := ( 1.0 - Abstand² / ( 2.0 * Radius² ) + ( Höhe - Bezugshöhe ) / Erdradius )²

    Kf := Kf1 / Maßstab²

Die korrigierte Fläche ist dann:
    Fkorr := Fkoord *Kf
Höhenreduktion Die Höhenreduktion ist unabhängig von irgendwelchen Koordinatensystemen. Sie ist abhängig von:
  • Der gemessenen horizontalen Strecke
  • dem Erdradius
  • dem Refraktionskoeffizienten
Die Höhenreduktion wird nur durchgeführt, wenn in der Tabelle der Lagestaten für den aktuellen Lagestatus "Höhenreduktion" aktiviert ist. Die Aktivierung geschieht durch das Eintragen eines "H" in der Spalte Höhenreduktion. (siehe Grafik "Einstellung Streckenreduktion"). (Dies müßte eigentlich in einer eigens zu erstellenden Tabelle Höhenstatus erfolgen.)

Der Refraktionskoeffizient ist fest auf 0,13 gesetzt.

Der Erdradius ergibt sich wie oben beschrieben aus dem Ellipsoid und der Breite. Die exakten Werte sind jedoch unkritisch.

Der Korrekturwert errechnet sich zu

HKorr := S * S * 0.87 * 0.5 / Erdradius

und die korrigierte Höhe zu

Hend := Hmes + HKorr
Streckenreduktion Die Streckenreduktion in UTM-Koordinatensystemen, zu denen auch die Gauß-Krüger-Reduktion gehört, ist grundsätzlich abhängig von: 
  1. Dem Abstand A zum Mittelmeridian
  2. Dem Radius der Schmiegekugel (mittlerer Erdradius für das Gebiet)
  3. Der Höhe, auf die sich die Koordinaten beziehen (Bezugshöhe)
  4. Der Höhe, auf die sich die Fläche bezieht. (Ellipsoid oder Gelände)
  5. Dem Maßstab des Koordinatensystems gegenüber dem internationalen Meter
Die Streckenreduktion aufgrund von Abstand, Radius und Höhe wird nur durchgeführt, wenn in der Tabelle der Lagestaten für den aktuellen Lagestatus "Streckenreduktion" aktiviert ist. 

Die Reduktion aufgrund des Maßstabes wird immer durchgeführt.

Der Abstand A zum Mittelmeridian wird in zwei Stufen ermittelt: 

  1. Eintrag im Auftrag. Wenn in der Tabelle der Aufträge ist ein mittlerer Rechtswert MR (in Metern) eingetragen ist, wird immer dieser genommen. Achtung: Eingetragen ist der Rechtswert, nicht der Abstand zum Mittelmeridian. Gerechnet wird A := ABS( MR - 500000 ). ABS(x) ist de Funktion zur Ermittlung des Absolutwertes einer Zahl.
  2. Ist kein Eintrag im Auftrag vorhanden, wird der aktuelle Rechtswert genommen. Je nach Berechnungsart kann dies der Standpunkt oder das Mittel der beiden beteiligten Punkte sein. Ist dieser Rechtswert 7-stellig, wird die erste Stelle, die sog. Meridiankennziffer, abgezogen. Anschließend wird die absolute Differenz zu 500000 gebildet.
Ist weder eine Angabe im Auftrag vorhanden oder der ermittelte Abstand größer als 250000, wird der Abstand zum Mittelmeridian zu 0 (Null) angenommen.

Die Korrektionsfaktor Fkorr1 ergibt sich zu:

FKorr1 := ( 1.0 - ( Höhe-Bezugshöhe ) / Erdradius ) + A² / ( 2.0 * Erdradius² )

Der endgültige Faktor ist dann:

FKorr := Fkorr1 * Maßstab

Die Strecken werden dann wie folgt gerechnet (in Klammern die Z.Nr. in der Tabelle der Bezeichnungen) : Übergang von Gelände auf Rechenfläche:

Sgem(72) := sHor(73) * Fkorr

Übergang von Rechenfläche auf Gelände: 

shor(114) := s(71) / Fkorr